РЕШУ ЦТ — математика

Вариант № 40077

ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямоугольный параллелепипед такой, что AB = 20, AD = 4. Через середины ребер AA₁ и BB₁ проведена плоскость (см.рис.), составляющая угол 60° с плоскостью основания ABCD. Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.

1) 80

2) 40

3) $80 корень из 3$

4) 160

5) $80 корень из 2$

Значение выражения $2 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка : левая круглая скобка целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$ равно:

1) $дробь: числитель: 32, знаменатель: 343 конец дроби$

2) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби$

3) $дробь: числитель: 343, знаменатель: 64 конец дроби$

4) $дробь: числитель: 343, знаменатель: 128 конец дроби$

5) $дробь: числитель: 64, знаменатель: 343 конец дроби$

Найдите периметр правильного шестиугольника, меньшая диагональ которого равна $10 корень из 3 .$

Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, а площадь диагонального сечения равна 9, то ее объем равен ...

Точки A, B, C разделили окружность так, что градусные меры дуг AB, BC, CA в указанном порядке находятся в отношении 5 : 6 : 7. Найдите градусную меру угла ABC.

1) 100°

2) 70°

3) 50°

4) 60°

5) 140°

Расположите числа $корень 15 степени из: начало аргумента: 36 конец аргумента ; корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 5 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ в порядке возрастания.

1) $корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 5 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; корень 15 степени из: начало аргумента: 36 конец аргумента ;$

2) $корень 5 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; корень 15 степени из: начало аргумента: 36 конец аргумента ; корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$

3) $корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 15 степени из: начало аргумента: 36 конец аргумента ; корень 5 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$

4) $корень 15 степени из: начало аргумента: 36 конец аргумента ; корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 5 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$

5) $корень 5 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 15 степени из: начало аргумента: 36 конец аргумента$

Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

1) 52 см²

2) 52,5 см²

3) 72 см²

4) 53 см²

5) 24 см²

Свежие фрукты при сушке теряют a % своей массы. Укажите выражение, определяющее массу сухих фруктов (в килограммах), полученных из 50 кг свежих.

1) $дробь: числитель: 5000, знаменатель: 100 плюс a конец дроби$

2) $дробь: числитель: 5000, знаменатель: a конец дроби$

3) $дробь: числитель: 50 левая круглая скобка 100 минус a правая круглая скобка , знаменатель: 100 конец дроби$

4) $дробь: числитель: 5000, знаменатель: 100 минус a конец дроби$

5) $дробь: числитель: 50 левая круглая скобка 100 плюс a правая круглая скобка , знаменатель: 100 конец дроби$

Трое рабочих (не все одинаковой квалификации) выполнили некоторую работу, работая поочередно. Сначала первый из них проработал $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Затем второй проработал $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. И, наконец, третий проработал $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Во сколько раз быстрее работа была бы выполнена, если бы трое рабочих работали одновременно? В ответ запишите найденное число, умноженное на 12.

10.  

По прямым параллельным путям равномерно в противоположных направлениях движутся два поезда: по первому пути  — скорый поезд со скоростью 108 км/ч, по второму  — пассажирский со скоростью 68,4 км/ч. По одну сторону от путей на расстоянии 100 м от первого пути и 20 м от второго растет дерево. Если пренебречь шириной пути, то в течение скольких секунд t пассажирский поезд, имеющий длину 165 м, будет загораживать дерево от пассажира скорого поезда? В ответ запишите значение выражения 15t.

Решение.

Рассмотрим машиниста скорого поезда. Дерево будет скрыто от него все время t от момента, когда машинист, дерево и начало первого вагона пассажирского поезда окажутся на одной прямой, и до момента, когда машинист, дерево и конец последнего вагона пассажирского поезда окажутся на одной прямой. В течение этого же времени дерево будет скрыто от любого из пассажиров скорого поезда. Изобразим начальное и конечное положения на рисунках; дерево расположено ближе ко второму пути, по которому следует пассажирский поезд.

Выразим скорости поездов в м/с: 108 км/ч  =  30 м/с, 68,4 км/ч  =  19 м/с. Треугольники ACE и BCD подобны с коэффициентом подобия 100 : 20  =  5. Определим длины их сторон: $AE = 30t,$ $BD = 165 минус 19t.$ Тогда:

$дробь: числитель: 30t, знаменатель: 165 минус 19t конец дроби = 5 равносильно дробь: числитель: 6t, знаменатель: 165 минус 19t конец дроби = 1 равносильно$
$равносильно 6t = 165 минус 19t равносильно t = дробь: числитель: 165, знаменатель: 25 конец дроби равносильно t = дробь: числитель: 33, знаменатель: 5 конец дроби .$ $дробь: числитель: 30t, знаменатель: 165 минус 19t конец дроби = 5 равносильно дробь: числитель: 6t, знаменатель: 165 минус 19t конец дроби = 1 равносильно$
$равносильно 6t = 165 минус 19t равносильно$
$равносильно t = дробь: числитель: 165, знаменатель: 25 конец дроби равносильно t = дробь: числитель: 33, знаменатель: 5 конец дроби .$ $дробь: числитель: 30t, знаменатель: 165 минус 19t конец дроби = 5 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6t, знаменатель: 165 минус 19t конец дроби = 1 равносильно$
$равносильно 6t = 165 минус 19t равносильно$
$равносильно t = дробь: числитель: 165, знаменатель: 25 конец дроби равносильно t = дробь: числитель: 33, знаменатель: 5 конец дроби .$

Тогда $15t = 33 умножить на 3 = 99.$

Ответ: 99.

Приведем другое решение.

Выразим скорости поездов в метрах в секунду: 108 км/ч  =  30 м/с, 68,4 км/ч  =  19 м/с. Пусть вместо дерева стоит фонарь, а пассажирский поезд, идущий по второму пути, отбрасывает на первый путь тень. Первый путь в 5 раз дальше от фонаря, чем второй, поэтому длина тени в 5 раз больше длины самого поезда, и скорость тени в 5 раз больше скорости поезда. Итак, тень длиной 5 · 165  =  825 (м) движется по первому пути со скоростью 5 · 19  =  95 (м/с). Скорый поезд сближается с этой тенью со скоростью 125 м/с. Поэтому он пройдет мимо тени за 825 : 125  =  6,6 (с). Искомая величина в 15 раз больше, она равна 99.

Усовершенствуем второе решение.

Выразим скорости поездов в метрах в секунду: 108 км/ч  =  30 м/с, 68,4 км/ч  =  19 м/с. Спроектируем движение скорого поезда на второй путь, по которому движется пассажирский поезд. Первый путь в 5 раз дальше от фонаря, чем второй, поэтому проекция будет двигаться в 5 раз медленнее, то есть со скоростью 6 м/с. Пассажирский поезд сближается с проекцией со скоростью 25 м/с, поэтому он пройдет мимо тени за 165 : 25  =  6,6 (с). Искомая величина в 15 раз больше, она равна 99.

11.  

Высоты остроугольного равнобедренного треугольника ABC (AB  =  BC) пересекаются в точке O. Если высота AD  =  12 и AO  =  9, то длина стороны AC равна:

1) 13

2) $3 корень из 6$

3) $6 корень из 6$

4) 15

5) $12 корень из 3$

12.  

Если $целая часть: 4, дробная часть: числитель: 6, знаменатель: 17 :x= целая часть: 4, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 : целая часть: 3, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 5$   — верная пропорция, то число x равно:

1) $28$

2) $32$

3) $3,5$

4) $3,2$

5) $2,8$

13.  

Найдите градусную меру угла, смежного с углом, радианная мера которого равна $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 15 конец дроби$

1) 46°

2) 42°

3) 50°

4) 45°

5) 48°

14.  

Строительная бригада планирует заказать фундаментные блоки у одного из трех поставщиков. Стоимость блоков и их доставки указана в таблице. При покупке какого количества блоков самыми выгодными будут условия второго поставщика?

Поставщик	Стоимость фундаментных блоков (тыс. руб. за 1 шт.)	Стоимость доставки фундаментных блоков (тыс. руб. за весь заказ)
1	240	1900
2	255	1020
3	300	бесплатно

1) более 22

2) от 15 до 45

3) от 23 до 58

4) менее 59

5) от 22 до 59

15.  

Даны квадратные уравнения:

Укажите уравнение, которое не имеет корней.

1) $3x в квадрате минус 5x минус 2=0$

2) $4x в квадрате минус 3x минус 7=0$

3) $2x в квадрате минус 16x плюс 32=0$

4) $5x в квадрате минус 3x плюс 4=0$

5) $4x в квадрате минус 8x плюс 4=0$

16.  

Укажите номер рисунка, на котором изображены фигуры, симметричные относительно точки O.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

17.  

Прямая a, параллельная плоскости α, находится от нее на расстоянии 3. Через прямую a проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b и образующая с ней угол 60°. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если A и B  — такие точки прямой a, что AB = 2, а C и D  — такие точки прямой b, что CD = 4.

1) $4,5$

2) $дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби$

3) $18$

4) $6 корень из 3$

5) $18 корень из 3$

18.  

Сумма всех натуральных решений неравенства $левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка в квадрате \geqslant0$ равна:

1) 36

2) 19

3) 15

4) 49

5) 47

19.  

Результат упрощения выражения $дробь: числитель: a в квадрате плюс 5a, знаменатель: a плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 6a, знаменатель: a в квадрате плюс 2a конец дроби$ имеет вид:

1) $a минус 3$

2) $дробь: числитель: левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: a плюс 2 конец дроби$

3) $a плюс 3$

4) $дробь: числитель: a в квадрате плюс 11a, знаменатель: a в квадрате плюс 3a плюс 2 конец дроби$

5) $дробь: числитель: a в квадрате плюс 7a плюс 22, знаменатель: 2 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка конец дроби$

20.  

Найдите сумму корней уравнения

21.  

Уравнение $дробь: числитель: 5x минус 7, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2=x минус дробь: числитель: 9 минус x, знаменатель: 6 конец дроби$ равносильно уравнению:

1) $3 в степени x =27$

2) $2 в степени x =128$

3) $7 в степени x =1$

4) $7 в степени x =7$

5) $2 в степени x =64$

22.  

23.  

Пусть (x; y)  — целочисленное решение системы уравнений

$система выражений 3x минус y = минус 9,4x в квадрате плюс 4xy плюс y в квадрате = 1. конец системы .$

Найдите сумму x + y.

24.  

Найдите сумму целых решений (решение, если оно единственное) системы неравенств $система выражений 4x плюс 12 больше или равно x в квадрате , левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате больше 0. конец системы .$

25.  

Используя рисунок, определите верное утверждение и укажите его номер.

1) $дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: k конец дроби$

2) $7k больше 7t$

3) $минус 7k меньше минус 7t$

4) $k больше t$

5) $дробь: числитель: k, знаменатель: минус 7 конец дроби больше дробь: числитель: t, знаменатель: минус 7 конец дроби$

26.  

Найдите значение выражения $6 умножить на левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 корень из 2 конец аргумента минус корень 5 степени из: начало аргумента: 25 корень из 5 конец аргумента правая круглая скобка : левая круглая скобка корень из 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка минус 4 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

27.  

Пусть x₁ и x₂  —  корни уравнения $x в квадрате минус 5x плюс q=0.$ Найдите число q, при котором выполняется равенство $x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате =51.$

1) 13

2) -5

3) -13

4) 5

5) 2,5

28.  

В четырехугольнике KMNL, вписанном в окружность, $KM = MN = 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и длины сторон KL и LN равны радиусу этой окружности. Найдите значение выражения S², где S  — площадь четырехугольника KMNL.

29.  

Значение выражения $3 в степени левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$ равно:

1) 81

2) $3 в степени левая круглая скобка минус 22 правая круглая скобка$

3) $9$

4) $3 в степени левая круглая скобка минус 19 правая круглая скобка$

5) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби$

30.  

Найдите произведение корней уравнения $6 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка плюс 108=2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка умножить на 12 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка .$

31.  

Найдите наибольшее целое решение неравенства $9 в степени левая круглая скобка x плюс 11 правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус x минус 10 правая круглая скобка больше 7,29.$

32.  

Пусть $A= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 11 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 2 минус 2} правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5,5 правая круглая скобка 11 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 11 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка 11 правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию 4 в квадрате 11.$

Найдите значение выражения 2^A.

33.  

Пусть x₀  — наибольший корень уравнения $\log в квадрате _2 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 32 конец дроби правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию 2 x минус 52=0,$ тогда значение выражения $7 корень 3 степени из: начало аргумента: x_0 конец аргумента$ равно ...

34.  

Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 54 правая круглая скобка меньше или равно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$

35.  

Значение выражения $7 косинус в квадрате 34 градусов плюс 10 синус 30 градусов плюс 7 синус в квадрате 34 градусов$ равно:

1) 12

2) 17

3) 24

4) $7 плюс 10 корень из 3$

5) $14 плюс 5 корень из 3$

36.  

Упростите выражение $3 синус левая круглая скобка 11 Пи плюс альфа правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус альфа правая круглая скобка .$

1) $минус 2 синус альфа$

2) $минус 4 синус альфа$

3) $2 синус альфа$

4) $4 синус альфа$

5) $4 косинус альфа$

37.  

Найдите (в градусах) сумму корней уравнения $14 синус 6x косинус 6x плюс 7 синус 12x косинус 9x=0$ на промежутке (90°; 150°).

38.  

Найдите произведение корней уравнения $x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 36 конец аргумента = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x плюс 12 конец дроби .$

39.  

Количество целых решений неравенства $5 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 23 минус x правая круглая скобка больше 3$ равно ...

40.  

Укажите формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии (a_n), если a₁  =  1, a₂  =  4.

1) $a_n= минус 3n плюс 4$

2) $a_n=3n плюс 4$

3) $a_n=3n минус 2$

4) $a_n=4n плюс 1$

5) $a_n=n плюс 4$

41.  

Функция $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби$ не определена в точке:

1) $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби$

2) $6 Пи$

3) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$

4) $минус Пи$

5) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$

42.  

Среди точек $A левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка , B левая круглая скобка 3;0 правая круглая скобка , C левая круглая скобка минус 9;3 правая круглая скобка , O левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка , C левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка$ выберите ту, которая принадлежит графику функции, изображённому на рисунке:

1) A

2) B

3) C

4) O

5) M

43.  

На диаграмме показано количество покупателей в период проведения акции в магазине. В какой день количество покупателей товара по акции составило менее 30% от количества всех покупателей в этот день?

1) понедельник

2) вторник

3) среда

4) четверг

5) пятница

44.  

Точки А(3;1), B(5;6) и C(6;6)  — вершины трапеции ABCD (AD||BC). Найдите сумму координат точки D, если $BD= корень из 2 9.$

45.  

Известно, что наименьшее значение функции, заданной формулой y  =  x² + 8x + c, равно −3. Тогда значение c равно:

1) $13$

2) $16$

3) $минус 51$

4) $минус 19$

5) $19$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	646	4
2	994	5
3	82	60
4	499	9
5	847	2
6	347	5
7	967	1
8	672	3
9	780	21
10	1682	99
11	798	3
12	363	4
13	1301	5
14	735	3
15	424	4
16	214	1
17	523	4
18	1008	5
19	819	3
20	626	-3
21	793	2
22	1018	-15
23	622	1
24	709	14
25	963	5
26	983	-14
27	1338	3
28	1675	3888
29	39	5
30	443	-2
31	830	-9
32	899	121
33	1051	56
34	202	13
35	1034	1
36	946	2
37	1017	600
38	90	-180
39	359	24
40	995	3
41	331	5
42	633	3
43	881	4
44	441	8
45	194	1

Ключ